Fungsi Produksi (Contoh Soal)

 

Bila diketahui bahwa fungsi produksi barang X dapat dirumuskan dalam format Cobb-Douglas Function Q = 5.K1/4L3/4 di mana Q0 = 1.000 unit

Diminta:

  1. Hitunglah least-cost combination penggunaan input K dan L bila r = Rp. 10.000 per machine hour, dan w = Rp 5.000 per man hour.
  2. Hitung kembali jawaban soal (a) bila Q’ = 1.100 dan Q” = 1.500
  3. Buatlah rekapitulasi yang menggambarkan Cost Function
  4. Susun kembali rekapitulasi tersebut pada soal c bila cost of capital naik 10% dan labor cost naik 5%
  5. Dapatkah saudara menggambarkannya dalam bentuk grafik

 

Jawaban :

  1. C = r.K + w.L

    Meminimumkan biaya dengan kendala fungsi produksi

    Dengan SOP optimasi:

    minimumkan    : C = r.K + w.L

    yang memenuhi :

    kendala         : Q = 5.K1/4L3/4

    fungsi sasaran    : G = r.K + w.L – λ(5.K1/4L3/4 – Q)

    Syarat primer:

    = 0    ; = 0

     

    Sehingga:

    = r – λ.5.(1/4).K-3/4L3/4 = 0

    r – λ.(5/4).K-3/4L3/4 = 0

    λ.(5/4).K-3/4L3/4 = r

    λ = r/((5/4).K-3/4L3/4)

     

    = w – λ.5.(3/4).K1/4L-1/4 = 0

    w – λ.(15/4).K1/4L-1/4 = 0

    λ.(15/4).K1/4L-1/4 = w

    λ = w/((15/4).K1/4L-1/4)

     

    λ = λ

     

    r/((5/4).K-3/4L3/4) = w/((15/4).K1/4L-1/4)

    r.(15/4).K1/4L-1/4 = w.(5/4).K-3/4L3/4

    kedua ruas dikali 4

    r.15.K1/4L-1/4 = w.5.K-3/4L3/4

    kedua ruas dibagi 5

    r.3.K1/4L-1/4 = w.1.K-3/4L3/4

    kedua ruas dikali K3/4.L1/4

    r.3.K1L0 = w.K0L1

    r.3.K1.1 = w.1.L1

    r.3.K = w.L

    r.3.K/w = L

    L = r.3.K/w

     

    Diketahui r = 10.000 per machine hour, w = Rp.5.000 per man hour

     

    L = 10.000.3.K/5.000

    L = 30.000K/5.000

    L = 6K

     

    Diketahui Q0 = 1.000 unit

    Q = 5.K1/4L3/4

    Q = 5. K1/4(6K)3/4

    Q = 5. K1/4.63/4K3/4

    Q = 5.63/4.K

    Q = 19,17K

    K = Q/19,17

    K = 1.000/19.17

    K = 52,17 machine hour

    L = 6.K

    L = 6. 52.17

    L = 313,02 man hour

     

  2. Bila Q’ = 1.100 unit

    K = Q/19,17

    K = 1.100/19.17

    K = 57,38 machine hour

    L = 6.K

    L = 344,28 man hour

    Bila Q” = 1.500

    K = Q/19,17

    K = 1.500/19.17

    K = 78,25 machine hour

    L = 6.K

    L = 469,5 man hour

     

  3. Rekapitulasi Cost schedule

    r = Rp.10.000 per machine hour; w = Rp.5.000 per man hour

Q (unit) 

C (rupiah) = r.K + w.L 

Keterangan 

1.000 

2.086.800 

K = 52,17; L = 313,02

1.100 

2.295.200 

K = 57,38; L = 344,28

1.500 

3.130.000 

K = 78,25; L = 469,5 

 

  1. Bila cost of capital naik 10%, labor cost naik 5%

    r = 10.000 (1 + 10%)

    r = 10.000 (1,1)

    r = 11.000

    w = 5.000 (1+5%)

    w = 5.000 (1.05)

    w = 5.250

     

    Karena adanya perubahan r dan w, maka kombinasi penggunaan input optimal berubah menjadi:

    L = r.3.K/w

    L = 11.000.3.K/5.250

    L = 33.000K/5.250

    L = 6,29K

     

    Sehingga

    Q = 5.K1/4L3/4

    Q = 5. K1/4(6,2857K)3/4

    Q = 5. K1/4.6,28573/4K3/4

    Q = 5.6,28573/4.K

    Q = 19,85K

    K = Q/19,85

     

    Bika Q0 = 1.000

    K = 1.000/19,85

    K = 50,38

    L = 6,29K

    L = 6,29. 50,38

    L = 316,18

     

    Bila Q’ = 1.100

    K = 1.100/19,85

    K = 55,42

    L = 6,29K

    L = 6,29. 55,42

    L = 348,59

     

    Bila Q’ = 1.500

    K = 1.500/19,85

    K = 75,57

    L = 6,29K

    L = 6,29. 75,57

    L = 475,34

    r = Rp.11.000 per machine hour; w = Rp.5.250 per man hour

     

Q (unit)

C (rupiah) = r.K + w.L 

Keterangan 

1.000 

2.214.125

K = 50,38; L = 316,18

1.100 

2.439.718

K = 55,42; L = 348,59

1.500 

3.326.805

K = 75,57; L = 475,34 

 

  1. Grafik Cost Function

 

Pada r = 10.000, w = 5.000

C = r.K + w.L

Q = 5.K1/4L3/4

L = 6.K

 

Q = 5.K1/4L3/4

Q = 5.K1/4.(6K)3/4

Q = 5.63/4.K1/4.K3/4

Q = 5.63/4.K

Q = 19,1682K

K = Q/19,1682

K = 0.0521.Q

 

C = r.K + w.L

C = 10.000.K + 5.000.6.K

C = 10.000.K + 30.000K

C = 40.000K

C = 40.000.0.0521.Q

C = 2084Q

 

Pada r = 11.000, w = 5.200

C = r.K + w.L

Q = 5.K1/4L3/4

L = 6,29K

Q = 5.K1/4L3/4

Q = 5.K1/4.(6,29K)3/4

Q = 5.6,293/4.K1/4.K3/4

Q = 5.63/4.K

Q = 19,8590K

K = Q/19,8590

K = 0.05036.Q

 

C = r.K + w.L

C = 11.000.K + 5.250.6,29.K

C = 11.000.K + 33.022,5K

C = 44.022,5K

C = 44.022,5. 0.05036.Q

C = 2.216,97Q

 

Facebook Comments

8 thoughts on “Production Function (Lanjutan Perilaku Produsen)

  • fifit

    mohon maaf sebelumnya, pak waktu itu saya menemukan alasan kenapa mc memotong avc dan atc di titik terendah tp dekarang zaya tidak menemukan artikel tersebut. bisakah dijelaskan lagi, karena saya masih penasaran. terimakasih

    Reply
    • Yohan Naftali

      AC = C/Q, Marginal Cost MC = dC/dQ
      Titik minimum kurva AC pada saat turunan pertamanya = 0
      d(AC)/dQ = 0
      d(A/C)/dQ = 0
      d(A.C^-1)/dQ = 0
      dC/dQ . Q^-1 + -1.C.Q^-2 = 0
      (dC/dQ)/Q – C/Q^2 = 0
      ( (dC/dQ).Q – C ) / Q^2 = 0
      (dC/dQ).Q – C = 0
      (dC/dQ).Q = C
      dC/dQ = C/Q
      MC = AC
      terbukti kurva MC memotong kurva AC (Average Cost = Average Total Cost) pada titik minimumnya

      begitu juga pada AVC, minimumnya pada saat turunan pertamanya = d(AVC)/dQ = 0
      AVC = VC/Q
      selanjutnya diselesaikan persamaan
      d(AVC)/dQ = 0
      d(VC/Q)/dQ = 0

      d(C)/dQ = VC/Q
      terbukti MC memotong pada titik minimum kurva AVC

      Reply
  • agung

    Suatu perusahaan memproduksi barang A dengan mempekerjakan karyawan. Perusahaan
    ini dihadapkan dengan upah tenaga kerja, w = 100.000. Harga barang P adalah
    Rp1.000,00. Produktivitas karyawan mengikuti rumus: (ΔQ/ΔL) = 1000*(1/L)0.5
    untuk mencari tenaga kerja agar optimal seperti apa ya pak?

    Reply
    • Yohan Naftali

      Karena P sifatnya ditetapkan = Rp.1000 dan w = 100.000
      Optimal kalau laba maksimum, Laba (pi) = Revenue (R) – Biaya (C)
      Maksimum saat turunan pertama = 0
      Sehingga profit maksimum tercapai pada saat MR = MC
      Revenue = P.Q, sehingga MR = P
      Cost = FC + VC
      FC = Fix Cost
      VC = Variabel Cost
      Pada soal ini asumsinya variabel cost hanya Labor cost saja maka
      Cost = VC
      Cost = w.L
      MC = d(w.L)/dQ
      MC = w.dL/dQ
      MC = w/(dQ/dL)
      MC = w/MPL
      Optimum pada saat MR = MC
      karena MR = Px, maka
      P = w/MPL
      Sehingga Optimum tercapai pada
      w/P = MPL
      di mana w = wage
      P = Price
      MPL = dQ/dL

      Coba cek persamaan MPL nya apakah benar 1000*(1/L)0.5 <- ? dengan memasukkan w/P = MPL 100.000/1000 = 1000*(1/L)*0.5 100 = 500/L L = 5

      Reply
  • agung

    terima kasih jawabannya pak.
    iya pak itu seharusnya (1/L)^0,5. seharusnya pangkat 0,5. cuma saya masih bingung yang dimasukkan ke persamaannya pak. mengapa menjadi 500/L?
    Terima kasih pak

    Reply
    • Yohan Naftali

      Karena saya tidak tahu kalau soalnya pangkat
      Kalau begitu kita masukkan kembali ke
      MPL = 1000*(1/L)^0.5 <- ? dengan memasukkan w/P = MPL 100.000/1000 = 1000*(1/L)^0.5 100 = 1000/L^0.5 L^0.5 = 10 L = 10^2 L = 100

      Reply
  • agung

    izin bertanya lagi pak kalau MR=P itu kan untuk pasar persaingan sempurna, kalau untuk selain pasar persaingan sempurna seperti apa pak? terima kasih banyak

    Reply
    • Yohan Naftali

      Dalam hali ini berlaku umum, bukan hanya pasar persaingan sempurna saja, karena ini adalah hasil penurunan persamaan untuk mencari optimasi

      Reply

Leave a comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *