Fungsi Produksi (Contoh Soal)

Bila diketahui bahwa fungsi produksi barang X dapat dirumuskan dalam format Cobb-Douglas Function Q = 5.K^1/4L^3/4 di mana Q⁰ = 1.000 unit

Diminta:

1. Hitunglah least-cost combination penggunaan input K dan L bila r = Rp. 10.000 per machine hour, dan w = Rp 5.000 per man hour.
2. Hitung kembali jawaban soal (a) bila Q’ = 1.100 dan Q” = 1.500
3. Buatlah rekapitulasi yang menggambarkan Cost Function
4. Susun kembali rekapitulasi tersebut pada soal c bila cost of capital naik 10% dan labor cost naik 5%
5. Dapatkah saudara menggambarkannya dalam bentuk grafik

Jawaban :

1. C = r.K + w.L

   Meminimumkan biaya dengan kendala fungsi produksi

   Dengan SOP optimasi:

   minimumkan    : C = r.K + w.L

   yang memenuhi :

   kendala         : Q = 5.K^1/4L^3/4

   fungsi sasaran    : G = r.K + w.L – λ(5.K^1/4L^3/4 – Q)

   Syarat primer:

   = 0    ; = 0

    

   Sehingga:

   = r – λ.5.(1/4).K^-3/4L^3/4 = 0

   r – λ.(5/4).K^-3/4L^3/4 = 0

   λ.(5/4).K^-3/4L^3/4 = r

   λ = r/((5/4).K^-3/4L^3/4)

    

   = w – λ.5.(3/4).K^1/4L^-1/4 = 0

   w – λ.(15/4).K^1/4L^-1/4 = 0

   λ.(15/4).K^1/4L^-1/4 = w

   λ = w/((15/4).K^1/4L^-1/4)

    

   λ = λ

    

   r/((5/4).K^-3/4L^3/4) = w/((15/4).K^1/4L^-1/4)

   r.(15/4).K^1/4L^-1/4 = w.(5/4).K^-3/4L^3/4

   kedua ruas dikali 4

   r.15.K^1/4L^-1/4 = w.5.K^-3/4L^3/4

   kedua ruas dibagi 5

   r.3.K^1/4L^-1/4 = w.1.K^-3/4L^3/4

   kedua ruas dikali K^3/4.L^1/4

   r.3.K¹L⁰ = w.K⁰L¹

   r.3.K¹.1 = w.1.L¹

   r.3.K = w.L

   r.3.K/w = L

   L = r.3.K/w

    

   Diketahui r = 10.000 per machine hour, w = Rp.5.000 per man hour

    

   L = 10.000.3.K/5.000

   L = 30.000K/5.000

   L = 6K

    

   Diketahui Q⁰ = 1.000 unit

   Q = 5.K^1/4L^3/4

   Q = 5. K^1/4(6K)^3/4

   Q = 5. K^1/4.6^3/4K^3/4

   Q = 5.6^3/4.K

   Q = 19,17K

   K = Q/19,17

   K = 1.000/19.17

   K = 52,17 machine hour

   L = 6.K

   L = 6. 52.17

   L = 313,02 man hour

    

2. Bila Q’ = 1.100 unit

   K = Q/19,17

   K = 1.100/19.17

   K = 57,38 machine hour

   L = 6.K

   L = 344,28 man hour

   Bila Q” = 1.500

   K = Q/19,17

   K = 1.500/19.17

   K = 78,25 machine hour

   L = 6.K

   L = 469,5 man hour

    

3. Rekapitulasi Cost schedule

   r = Rp.10.000 per machine hour; w = Rp.5.000 per man hour

1. Bila cost of capital naik 10%, labor cost naik 5%

   r = 10.000 (1 + 10%)

   r = 10.000 (1,1)

   r = 11.000

   w = 5.000 (1+5%)

   w = 5.000 (1.05)

   w = 5.250

    

   Karena adanya perubahan r dan w, maka kombinasi penggunaan input optimal berubah menjadi:

   L = r.3.K/w

   L = 11.000.3.K/5.250

   L = 33.000K/5.250

   L = 6,29K

    

   Sehingga

   Q = 5.K^1/4L^3/4

   Q = 5. K^1/4(6,2857K)^3/4

   Q = 5. K^1/4.6,2857^3/4K^3/4

   Q = 5.6,2857^3/4.K

   Q = 19,85K

   K = Q/19,85

    

   Bika Q⁰ = 1.000

   K = 1.000/19,85

   K = 50,38

   L = 6,29K

   L = 6,29. 50,38

   L = 316,18

    

   Bila Q’ = 1.100

   K = 1.100/19,85

   K = 55,42

   L = 6,29K

   L = 6,29. 55,42

   L = 348,59

    

   Bila Q’ = 1.500

   K = 1.500/19,85

   K = 75,57

   L = 6,29K

   L = 6,29. 75,57

   L = 475,34

   r = Rp.11.000 per machine hour; w = Rp.5.250 per man hour

    

1. Grafik Cost Function

Pada r = 10.000, w = 5.000

C = r.K + w.L

Q = 5.K^1/4L^3/4

L = 6.K

Q = 5.K^1/4L^3/4

Q = 5.K^1/4.(6K)^3/4

Q = 5.6^3/4.K^1/4.K^3/4

Q = 5.6^3/4.K

Q = 19,1682K

K = Q/19,1682

K = 0.0521.Q

C = r.K + w.L

C = 10.000.K + 5.000.6.K

C = 10.000.K + 30.000K

C = 40.000K

C = 40.000.0.0521.Q

C = 2084Q

Pada r = 11.000, w = 5.200

C = r.K + w.L

Q = 5.K^1/4L^3/4

L = 6,29K

Q = 5.K^1/4L^3/4

Q = 5.K^1/4.(6,29K)^3/4

Q = 5.6,29^3/4.K^1/4.K^3/4

Q = 5.6^3/4.K

Q = 19,8590K

K = Q/19,8590

K = 0.05036.Q

C = r.K + w.L

C = 11.000.K + 5.250.6,29.K

C = 11.000.K + 33.022,5K

C = 44.022,5K

C = 44.022,5. 0.05036.Q

C = 2.216,97Q